Rigorizacion de las Matemáticas. Pero, si esto es así, ¿Qué sucede con la noción de infinito actual ? ¿Cómo es qué, aun cuando son dados previamente a la experiencia se pueden aplicar a ella? Tal es la postura filosófica fundamental que yo considero esencial para las matemáticas y para cualquier especie de pensamiento, de comprensión y de comunicación científica. Kant responde: porque el concepto de la suma de siete y cinco no encierra más que la reunión de ambos números en uno sólo. La dificultad radica en el hecho de que uno de los objetivos y postulados del intuicionismo es el de desterrar de la matemática la inseguridad. Así pues, el espacio y el tiempo, en conexión con los conceptos puros del entendimiento, (ciencia natural pura) prescriben a priori sus leyes a toda la experiencia posible, la cual igualmente, proporciona el criterio más seguro para distinguir en ella la verdad de la apariencia. [The modern development of the foundations of mathematics in the light of philosophy, Gödel 1961], Ingeniero eléctrico Universidad de Los Andes Bogotá Colombia, Especialización en redes y gerencia de sistemas de información, Educación continuada Historia de la ciencia Cambridge University UK, Actualmente realizando la maestría en filosofía universidad Javeriana Bogotá Colombia. Para que el razonamiento lógico esté dotado de solidez, es necesario que se puedan abarcar estos objetos con la intuición directa en todas sus partes, como algo que no es susceptible de reducción o cuya reducción no es necesaria. Este descubrimiento dio lugar a varios temas centrales en el estudio de las matemáticas y que me limito a enumeraremos para tratarlos más adelante, en primer lugar, la relación entre magnitudes inconmensurables abrió la puerta a los números irracionales. Esto implicaría la conversión al formalismo por parte de los intuicionistas. Por razón de las graves incursiones que los argumentos de informes contradictorios han efectuado en la teoría kantiana de una intuición pura del espacio y del tiempo y en la teoría moderna de las construcciones intuitivas, el intuicionismo moderno no puede considerarse como una filosofía satisfactoria de la matemática pura. Pone de manifiesto que la verdad matemática es de amplitud mayor que la verdad lógica y, por tanto, la irreductibilidad de la matemática a la lógica. La Matemática, como todas las ciencias, ha … Podemos tener gracias al espacio y el tiempo, intuiciones sensibles no empíricas. Muestra que no hay ningún sistema formal matemático con un número finito de axiomas que sea completo; por el contrario, hay problemas relativamente simples de la aritmética de números naturales que no pueden ser decididos con sus axiomas y reglas. It appears that you have an ad-blocker running. La realidad como tal no tiene leyes, ni las obedece, es esta relación con nuestra subjetividad lo que hace posible todo proyecto científico. El método axiomático, utilizado con éxito tanto en Álgebra como en geometría, representaba el ideal griego del conocimiento científico. De los fundamentos de la Matemática. La geometría construye sus figuras sobre el fondo de la intuición del espacio como campo posible de esta construcción. Es considerado, pues, el espacio como la condición de la posibilidad de los fenómenos y no como una determinación dependiente de éstos, y es una representación a priori que necesariamente está a la base de los fenómenos externos. Éste había enseñado y ello constituye una parte integrante de su doctrina, el que las matemáticas disponen de un contenido que les es asegurado independientemente de toda lógica y que, por tanto, no pueden fundarse en absoluto sobre la lógica, lo que condena por anticipado al fracaso las tentativas de Frege y Dedekind. Hacia finales del siglo XIX y principios del siglo XX, algunos matemáticos, … Si se aceptaban los procesos infinitos  de división como el utilizado en Geometría, al dividir una recta sucesivamente, en un número infinito de partes, cada una de ellas no tendrá ninguna magnitud. No tiene por objeto, en cambio, mostrar la legitimidad de tales construcciones, ya sea mediante la lógica o un programa de formalización. Enjoy access to millions of ebooks, audiobooks, magazines, and more from Scribd. El descubrimiento de magnitudes no comparables fue una sorpresa porque contradecía  el sentido común. Como habíamos mencionado anteriormente, La tesis que las matemáticas son derivables de la lógica puede rastrearse al filósofo y matemático Leibniz. Dos jóvenes matemáticos, Kurt Gödel y Alan Turing, fueron los encargados de demostrar, entre otros, aquellas limitaciones. Unos años antes, la crisis de los fundamentos había dividido a la comunidad científica en varias facciones. Weyl ciertamente trata a las matemáticas como una ciencia. Una forma equivalente de plantear el problema es preguntar cómo es posible el conocimiento más allá de un concepto dado independientemente de toda experiencia del objeto pensado a través de ese concepto. RIGORIZACIÓN Los campos obligatorios están marcados con *. El infinito actual fue  desterrado de la matemática griega. Russell conocía por supuesto el trabajo de Peano, quien había derivado los números reales desde los axiomas sobre todos los números, y también conocía el trabajo de Hilbert, proponiendo un conjunto de axiomas para todo el conjunto de números reales. Crisis de los fundamentos matemáticos la crisis matemática se refiere a la situación teórica que llevó a una. LAS CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS. For it is just this becoming evident of more and more new axioms on the basis of the meaning of the primitive notions that a machine cannot imitate. El descubrimiento tuvo tanta repercusión que marcó la historia del pitagorismo y la historia de las matemáticas en Grecia. Por lo general, la crisis fundamental es reales se pueden derivar de la teora de. La intuición inmediata debe percibir cómo están ordenados entre sí. La crisis actual de los fundamentos de la Matemática. El Teorema de incompletitud significa para el logicismo de Russell y Whitehead el fracaso de su intento de construir un sistema lógico que permita incluir la aritmética. La crisis fundamental de las matemáticas (en alemán Grundlagenkrise der Mathematik) fue el término de principios del siglo XX para la búsqueda de los fundamentos … Queda bajo la responsabilidad de cada lector el eventual uso que se le de a esta información. Este mismo razonamiento lo podemos aplicar a la aritmética considerando la cantidad como parte constitutiva de los objetos en el tiempo, entendido el tiempo como algo dado en la mente a priori. Fundamentos de las Mediciones El¶ectricas Teor¶‡a y Pr¶acticas, Brochure Coaching Organizacional...FUNDAMENTOS Dominio de los orígenes y fundamentos del coaching Dominio de las bases psicológicas del comportamiento humano basado en MBTI Una perspectiva, Aproximacion a las politicas de planificacion y desarrollo en Ecuador y sus fundamentos sociales, FUNDAMENTOS TEOLÓGICOS DE LAS CONFERENCIAS …, FÍSICA II: FUNDAMENTOS DE LAS INSTALACIONES …faeuat0.us.es/mjespin/docencia/fiiinstalaciones/organizacion/organ...FÍSICA II: FUNDAMENTOS DE LAS ... Objetivos y competencias de, Ensayo PSU Universidad Católica 2011 Matemáticas, FÍSICA II: FUNDAMENTOS DE LAS INSTALACIONESedifisica.us.es/fii/Carpetas/Extra/Informacion_sobre_FIIINSTALACIONES_grupo1.pdfFÍSICA II: FUNDAMENTOS DE LAS INSTALACIONES INFORMACIÓN, Las crisis de los fundamentos de las matemáticas. Esta impresión parece provenir de dos fuentes: por un lado el aparente supuesto de que sólo son posibles tres tipos de proposiciones: Y por otro lado este aire de contradicción se completa por la convicción aparente que se ha demostrado que la primera posibilidad no podía sostenerse y que la segunda debía descartarse por demasiado oscura e inapropiada a la variedad de los diversos sistemas matemáticos. Mientras en el análisis nosotros operamos con lo infinitamente grande o lo infinitamente pequeño únicamente como conceptos limites, es decir con lo que habíamos denominado como infinito potencial, para el caso de la teoría de los números trabajamos con la totalidad de los números como una unidad completa, en otras palabras como un infinito real. Uno de los grandes problemas con que se encuentra el intuicionismo, es la posibilidad de la existencia de relatos contradictorios en experiencias presuntamente autoevidentes. Fundamentos de las matemáticas es el estudio de los fundamentos lógicos y filosóficos de las matemáticas. Las proposiciones del formalista son sintéticas y empíricas, y las del intuicionista son sintéticas y no empíricas, esto es a priori. Todos los documentos disponibles en este sitio expresan los puntos de vista de sus respectivos autores y no de Monografias.com. El famoso científico Poincaré, fue también un duro crítico de la posición logicista, argumentando que consideraba esta aproximación, una manipulación estéril de símbolos lógicos. Free access to premium services like Tuneln, Mubi and more. Esta nueva lógica se valió principalmente de formas simbólicas. Por lo tanto, el problema de lo sintético a priori consiste en explicar cómo es posible que la fundamentación extraconceptual y extralógica de un juicio sea no empírica. Este tema lo utilizan los mismos intuicionistas contra la tesis kantiana de que los teoremas de la geometría euclidiana son proposiciones sintéticas a priori, puesto que son informes de construcciones evidentes en sí mismas en el medio intuitivo del espacio como tal, sin elementos sensibles. El concepto de lo más corto es adicional y no puede extraerse por ningún tipo de análisis del concepto de línea recta. El proceso no acaba nunca y esto viene a demostrar la no existencia de tal unidad común. Activate your 30 day free trial to continue reading. La importancia de la noción Kantiana de espacio estuvo dentro de la contienda entre David Hilbert y Gottlob Frege, donde la balanza parece haberse inclinado más por el tema de la aplicabilidad de sus conceptos, que el tema lógico. El razonamiento de Gödel mostró que esta conclusión se aplica a cualquier sistema lo suficientemente rico para expresar la teoría de los números naturales, pues en todo sistema así puede construirse alguna fórmula gödeliana. Ferreira, completó la redacción y publicación de su Ideografía (1879), cree que es el resultado conjunto de definir estos conceptos con un lenguaje formal, simbólico (" menú " , precisamente), haciendo así los fundamentos de las matemáticas apodictic, y no el más intuitivo: pensamiento que se ha completado la fundación sobre una base lógicamente sólida para todo el edificio matemáticas conceptuales. Introducción. Sus conceptos y métodos tienen su origen en la experiencia, y cualquier intento de fundamentarla sin su ayuda, estarán destinadas al fracaso. But now, if the misunderstood Kant has already led to so much that is interesting in philosophy, and also indirectly in science, how much more can we expect it from Kant understood correctly?" alrededor de 1900 comenzaron una crisis que sacudió los fundamentos de las matemáticas. Puede ser consistente sólo si no es íntegro y puede ser íntegro solo si es inconsistente. También debemos recordar aquí el tratamiento dado a lógica por Boole en el the mathematical analysis of logic. Kant considera la anterior afirmación, que la existencia de hechos sensibles intuitivos no empíricos, como quizás su mayor logro intelectual, en el desarrollo de la Crítica de la Razón Pura. By whitelisting SlideShare on your ad-blocker, you are supporting our community of content creators. Recuerde que para ver el trabajo en su versión original completa, puede descargarlo desde el menú superior. FUNDAMENTOS No podemos nunca representarnos que no haya espacio, aunque podemos pensar muy bien que no se encuentren en él objetos. Hilbert se prepara así para decirnos que entendía él por una prueba matemática realmente objetiva. Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. En segundo se eliminaron de las matemáticas el infinito y los procesos infinitos y, finalmente, se abordó el problema de la comprensión del continuo físico y del  continuo matemático y sus paradojas relaciones. alrededor de 1900 comenzaron una crisis que sacudió los fundamentos de las “En la búsqueda de la verdad, el mejor plan podría ser comenzar por la crítica de nuestras más caras creencias”. Kant sostenía que las leyes de los números, como las de la geometría euclidiana, son a priori y sintéticas. De modo similar a lo que ocurría en la aritmética, la intuición pura del espacio, intuición que constituye la forma a priori de la sensibilidad externa, y que subyace como condición de posibilidad en todos los juicios de la geometría. Es posible que el descubrimiento de geometrías no-euclidianas haya sido una de las causas que condujeron a la negación de esta autoevidencia, pero lo cierto es que no la implicaba. Aunque Kant no expresa su punto de vista con respecto a la filosofía del número de una forma explicita como lo hizo con respecto a la filosofía del espacio, dijo lo bastante como para dejar en sus lectores la impresión, de que nuestro conocimiento de los números se basa en una conciencia del tiempo como forma pura de intuición y en la conciencia de la mente de su propia capacidad para repetir el acto de contar una vez tras otra. Y terminamos diciendo en armonía con Kant: "Los juicios matemáticos son todos ellos sintéticos. Hay que salir de estos conceptos, ayudándose de la intuición que les corresponde, por ejemplo, los cinco dedos o cinco puntos y así, poco a poco añadir en el transcurso del tiempo las unidades del cinco al concepto de siete. Estos resultados también son decisivos para el intuicionismo de Brouwer. Mario O. González La crisis actual de los fundamentos de la Matemática. By accepting, you agree to the updated privacy policy. Uno de los temas sobre los que espero ayudar a despejar la enrarecida atmósfera, que nuestra época nos presenta y que intenta obscurecer las valiosas ideas subyacentes a la Crítica, es mostrar que Kant entendía muy bien las ciencias de su época, en especial la aritmética, la geometría y la física, esto le permitió realizar una síntesis sin igual, entre una objetividad y una subjetividad, y entender que toda ciencia, siempre será ciencia para el hombre, es el hombre el que propone leyes, suma o toma la distancia más corta entre dos puntos. Crisis de los Avances Fundamentos. Y es precisamente a través de la referencia espacial, o temporal incorporada, como la geometría o la aritmética, resultan aplicables a la naturaleza, considerada ésta como la totalidad de los fenómenos externos. Aquí radica lo interesante y fundamental de la propuesta kantiana, y que propone enfrentarse a una concepción fría y analítica de las matemáticas como veremos mas adelante. Von Neumann, quien hizo contribuciones fundamentales al formalismo y la teoría de conjuntos, también realizó una propuesta para salir de problema provocado por la crisis de la matemática. La crisis comienza con el Teorema de Gödel. Tanto los formalistas como los intuicionistas, Hilbert y Brouwer, reconocen la influencia de la filosofía de la matemática de Kant y van en contra de la tradición leibniziana, según la cual todas las proposiciones matemáticas son analíticas en el sentido de que su verdad o falsedad, pueden derivarse de los principios de la lógica. Por otra parte, E’C y AD’ son iguales a las diagonales del pentágono interior  A’B’C’D’E’ (ya que, por ejemplo, CB’E’ es isósceles) y se tiene que la unidad u que medía el lado y la diagonal del pentágono ABCDE mide también el lado y la diagonal del pentágono interior A’B’C’D’E’. Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Privacidad  |  Términos y Condiciones  |  Haga publicidad en Monografías.com  |  Contáctenos  |  Blog Institucional, Una variable predicativa: Φ (esta variable, Un predicado de un solo argumento (que se aplica a un, Dos predicados de dos argumentos (que se aplican a un, Si X tiene la propiedad de ser un numero entero, e Y es, Si 0 tiene la propiedad Φ, y si cualquiera que. Una secuencia de tales pasos en que la fórmula final afirmada es consecuencia de los axiomas precedentes o lo que es equivalente, esta conclusión constituye la prueba del teorema. However, if in this proposition we replace the term "geometrical" – by "mathematical" or "set-theoretical", then it becomes a demonstrably true proposition. El más antiguo ejemplo, y al mismo tiempo el más conocido, de teoría axiomática están en los elementos de Euclides. × Close Log In. La explicación kantiana del por qué las matematicas funciona bien en la realidad, ha sido desarrollada por Alfred North Whitehead, y también por Brouwer en un articulo publicado en 1923. Pero dejemos por un momento a Kant, y veamos con más detalle la propuesta que la escuela logicista nos quiere hacer. Uno de ellos fue probar la el congreso de Matemáticas de 1900, Hilbert propuso a la comunidad una La importancia de Frege, quizás el mas importante lógico desde Aristóteles, ha sido por el hecho de proponer la moderna lógica matemática; su logro más notable es lo que conocemos como la axiomatización de la lógica proposicional. Por el año 1900, las leyes de la lógica eran aceptadas por la mayoría de matemáticos como un sistema de verdades. Como consecuencia es esta acción mutua, la división estricta de los matemáticos y los filósofos en logicistas, formalistas e intuicionistas, división que nunca fue muy real excepto para los protagonistas o lideres de las diferentes escuelas, y es muy probable que pierda mucho de su importancia a futuro y se convierta más bien en un artificio exclusivamente pedagógico. Andrzej Mostowski, uno de las más prominentes y trabajador activo del programa de fundamentación propone muy atrevidamente que las matemáticas son una ciencia de la naturaleza. Brouwer no apela ciertamente a la inspección de objetos externos, sino a la introspección directa. Por lo tanto, el logicismo se configuró como el intento de reducir a términos estrictamente lógicos, las definiciones fundamentales de la aritmética, ya que, como Cantor ya había adivinado y como Gödel demostraría más tarde por medio de aquellos que toma el nombre de los números de Gödel, las matemáticas son completamente atribuibles a la aritmética. Por ejemplo la siguiente proposición: La línea recta es la más corta entre dos puntos. I believe it to be a general feature of many of Kant's assertions that literally understood they are false but in a broader sense contain deep truths. Hipaso, hacia el año 450 a.C., descubrió las magnitudes inconmensurables, las cuales tenían relaciones geométricas que no eran expresables en forma de fracción. Una de las modernas explicaciones a este acertijo de la naturaleza, viene de nuestro filósofo Kant, con el cual terminamos este ensayo. Un breve recorrido de la búsqueda de los fundamentos de las matemáticas, hasta el paradigma de la lógica matemática y de la ciencia moderna ... para las … Revisar los fundamentos de las matemáticas con el máximo rigor lógico. Pronto, en 1931, Gödel vertería un jarro El sistema de axiomas establecido por Peano para la aritmética elemental constituye otra aplicación simple del método axiomático. Aun Russell, quien en 1901, admitía claramente la solidez del edificio de construcciones de verdades de las matemáticas, el cual hasta ese momento permanecía inamovible, en 1914 no tuvo más remedio que admitir que la geometría aplicada es sintética, aunque no es a priori. Según una narrativa de manual, ya muy manida y obsoleta, la crisis de fundamentos en matemáticas habría surgido del descubrimiento de contradicciones –las … Rigorización de las matemáticas y la crisis de los fundamentos matemáticos en el siglo xx. El concepto de línea recta no está relacionado con magnitud, sino sólo con cualidad. Aunque de algún modo ya habían sido vistos por éste -razón por la que se extrañaba de la gran importancia que se les había dado- sin embargo, el mérito de Gödel está en haber construido unas pruebas formales claras para mostrar la existencia concreta de proposiciones indecidibles a partir del sistema formal que incluye la aritmética elemental. Las más grandes creaciones de la física de los pasados cien años, sean quizás la teoría electromagnética, la teoría de la relatividad, y la mecánica quántica, todas ellas utilizan asiduamente las matemáticas modernas para estudiar al mundo físico, formulando leyes y conceptos que parecieran no basarse en la realidad, y sin embargo así, se logran obtener conclusiones que pueden ser interpretadas físicamente y además comprobada su exactitud por el experimento. La crisis fundacional de la matemática (llamada originalmente en alemán: Grundlagenkrise der Mathematik) fue un término acuñado a principios del siglo XX para referirse a la situación teórica que llevó a una investigación sistemática y profunda de los fundamentos, que acabó inaugurando una nueva rama de la matemática. Remember me on this … Hilbert. Log in Join. Como fue el caso de la teoría de conjuntos y el manejo del infinito. El … La realidad matemática no estaría situada en un mundo ideal, sino que se identifica con la realidad concreta de los signos. una serie de problemas algorítmicamente irresolubles. ¿Por qué no puede decirse que en ella el predicado está ya incluido en el sujeto? Páginas: 21 (5057 palabras) Publicado: 25 de septiembre de 2012. En él tan sólo es posible toda realidad de los fenómenos. las crisis de los fundamentos de las matemáticas. Vemos lo que nuestra óptica matemática nos permite ver. Podemos decir que el programa intuicionista consiste en practicar la matemática intuicionista, que consiste en crear o construir objetos matemáticos, y estos objetos construidos tienen sólo una existencia matemática. El historiador Jámblico (245-325) escribió en su libro Vida de Pitágoras  la historia (ocho siglos después) dela siguiente forma: Hipaso era un pitagórico, pero al haber divulgado por escrito como se podía construir una esfera a partir de doce pentágonos, pereció en el mar por haber cometido ese acto de impiedad. Frege creía que las leyes de las matemáticas son analíticas. Esta proposición parece haber escapado hasta ahora a los analíticos de la razón humana y hasta hallarse en directa oposición a todas sus sospechas, aunque es cierta irrefutablemente y muy importante en sus consecuencias. Las matemáticas no necesitan de un apoyo de una lógica extendida o de una formalización rigurosa, esta idea sólo puede ser sostenida allí donde no se le ha entendido correctamente. Así que podemos decir, que lo esencial de la matemática es que ella puede construir sus conceptos previamente a cualquier aprehensión empírica de ellos. Please assign a menu (Go to Appearance => Menus and assign a menu to "Mobile Menu" location), MAGNITUDES INCONMENSURABLES. La pregunta que queremos tratar de responder ahora, es, ¿qué son conceptos por construcción? Hilbert había buscado reunir todos los símbolos disponibles de la lógica con el fin de empezar a armar el rompecabezas de su sistema (recordemos símbolos como ~ para la negación, o -> para la implicación) de tal forma que todos los axiomas se expresaran como fórmulas o colecciones de símbolos. El tiempo es pues dado a priori. Estamos aquí ante la verdadera justificación de cómo son posibles los juicios sintéticos a priori en la física y en la matemática. década de 1930, cuando estas preguntas fueron resueltas por las obras Se considera que sus métodos e intuiciones no son susceptibles de las garantías que los logicistas y los formalistas profesan proporcionar. Pero los Pitagóricos demostraron que entre el lado y la diagonal del cuadrado y entre el lado y la diagonal del pentágono no podía existir una unidad de medida, por pequeña que fuese, capaz de expresar la medida de ambas mediante sendos números enteros. Este debate entre las teorías propuestas por Kant en su Crítica, y las opiniones de destacados filósofos y científicos del siglo XX, será el tema principal con el cual espero poder realizar un diálogo, entre dos épocas distantes temporalmente. El pentágono encerraba las maravillas de la belleza (número áureo), pero también ocultaba la irracionalidad. Ya que estas son de por sí legitimas y son autoevidentes. Para reconstruir las matemáticas libres de toda paradoja, en We've updated our privacy policy. Cantor abrió un universo nuevo para todos los matemáticos con la introducción de los números transfinitos. That is demonstrably false. El objeto de estudio de la matemática intuicionista, son objetos y construcciones no perceptivos, intuidos, los cuales son autoevidentes introspectivamente. Del mismo modo probó que la consistencia no puede demostrarse dentro del sistema. En él es determinada o determinable su figura, magnitud y mutua relación. Particularmente en las matemáticas, el objeto de nuestro examen son los signos concretos mismos, cuya forma se nos manifiesta inmediata y evidentemente, conforme a nuestra posición fundamental permaneciendo perfectamente reconocible". "I believe that precisely because in the last analysis the Kantian philosophy rests on the idea of phenomenology, albeit in a not entirely clear way, and has just thereby introduced into our thought something completely new, and indeed characteristic of every genuine philosophy – it is precisely on that," I believe, that the enormous influence which Kant has exercised over the entire subsequent development of philosophy rests. ... Universidad de los Andes, Bogotá, Colombia), en colaboración con el grupo FQM-193 … Asimismo, es obligatoria la cita del autor del contenido y de Monografias.com como fuentes de información. Siguiendo este razonamiento, es posible demostrar que la existencia de esta formula quiere decir que el sistema debe ser inconsistente si es íntegro. Por lo que se refiere a los fenómenos en general, no se puede quitar el tiempo, aunque se puede muy bien sacar del tiempo los fenómenos. El teorema provocó una nueva valoración, todavía en trance de desarrollo, de una extendida filosofía de la matemática y de la filosofía del conocimiento en general. SUMA, 7, pp. Se empieza a acentuar una crisis al interior de las matemáticas en el siglo XX, que preocupó profundamente a los matemáticos de la época. Gottlob Frege y sus seguidores adoptaron y extendieron las representaciones simbólicas de los razonamientos hasta ahora utilizados por los matemáticos. Sin Kant la síntesis de un racionalismo excesivo, con un empirismo sensacionalista, no hubiera sido nunca posible. matemáticas. La mente da forma a nuestros conceptos de espacio y tiempo. DE LAS Se sigue, entonces que cualquier tipo de construcción de conceptos que sea factible y que anticipe eventos espacio-temporales ha de ser considerada como matemática. Redondeo de Números 3. Las matemáticas describen el mundo físico en la forma como nosotros lo conocemos. Que Dios existe, que todos los ángulos rectos son iguales, etc. El termino crisis no hay que entenderlo, como una situación dramática que afectara a la historia de las matemáticas, comprometiendo así el progreso de la razón. Como señala Morris Kline, El fenómeno de la incompletitud constituye un importante defecto ya que entonces el sistema formal no es adecuado para demostrar todas las afirmaciones que podrían serlo correctamente (sin contradicción) dentro del sistema. National Open and Distance … El termino crisis no hay que entenderlo, como una situación dramática que afectara a la historia de las matemáticas, … Los problemas de fundamentacion matemática a lo largo de la historia, Linea de tiempo PROBLEMAS DE FUNDAMENTACIÓN MATEMATICA, Linea_del_tiempo_Tarea 4 realizar_transferencia_del_conocimiento. Todo conocimiento empieza por la experiencia, más no todo se origina en ella, diría Kant. "I would like to point out that this intuitive grasping of ever newer axioms that are logically independent from the earlier ones, which is necessary for the solvability of all problems even within a very limited domain, agrees in principle with the Kantian conception of mathematics. Hilbert sugiere una distinción importante entre la aplicación del concepto de infinito en el análisis y el uso que de tal concepto hace Cantor en la teoría de conjuntos. carecería de objeto afirmar la posibilidad de reducir toda la matemática a la lógica si, al mismo tiempo, hubiera que admitir que la lógica incluye dentro de sí todos y cada uno de los diversos apartados de la matemática. ¿Cómo puede un concepto ser completamente a priori, esto es, de mi propia invención, y no obstante estar relacionado con una realidad que yo no invento y que está dada objetivamente como algo real? También entraremos a formar parte de la discusión sobre la verdadera naturaleza de los juicios matemáticos, ver si su carácter es analítico como dice la escuela logicista o son juicios sintéticos como nos propone Kant en la Crítica de la Razón Pura. LAS CRISIS DE LOS FUNDAMENTOS. Como curiosidad podemos anotar, que Leibniz no llevó esta propuesta a la realidad, y tuvieron que pasar unos dos cientos años para que otros se unieran a esta iniciativa. Whitehead advirtió que no puede haber prueba formal de la consistencia de las premisas lógicas a partir de ellas mismas. Por lo tanto Se puede decir que la crisis inicia … Generalmente, en las ciencias, el reduccionismo se entiende la tendencia a referir la explicación de un fenómeno dado a los agentes tan elementales y lo menos p... Esta página se basa en el artículo de Wikipedia: This page is based on the Wikipedia article: Licencia Creative Commons Reconocimiento-CompartirIgual, Creative Commons Attribution-ShareAlike License. Sus teoremas, como los de la física moderna, deben tener una correspondencia con la realidad, como forma de asegurar su consistencia. Cuenta que Hipaso de Metaponto fue arrojado al mar por los de su secta: los Pitagóricos por haber difundido fuera de la Hermandad el descubrimiento de los irracionales. MATEMÁTICAS FINANCIERAS TEMA: FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS 1. Esto condujo a la Teoría de la Computabilidad, que nació a mediados de la LA CRISIS DE LOS K. R. Popper. computadora universal en la década de 1940, así como el descubrimiento de “Después de más de … Constituye una de las principales convicciones de la escuela intuicionista, el que las matemáticas forman una actividad totalmente autónoma y autosuficiente. Gödel, en 1950 nos sorprende al decir: que la función del proceso de fundamentación, es comparable a la utilización de hipótesis en las teorías físicas. Escribe Russell en el último capítulo de su Introduction to Mathematical Philosophy:Si todavía hay quien no admita la identidad de la lógica y la matemática, podemos desafiarle a que nos muestre en qué punto de la cadena de definiciones y deducciones de los Principia Mathematica considera que concluye la lógica y comienza la matemática. La matemática es para el intuicionista la construcción de entidades en la pura intuición, y no la promesa de semejante construcción o la encuesta acerca de si ésta es, o no posible. A continuación probaremos que el lado y la diagonal del pentágono son magnitudes no comparables y procederemos por reducción al absurdo, Si la unidad u midiera al lado AB y a su diagonal AC, como ABE’ es un triángulo isósceles, AB = AE’ y la unidad u mediría a E’C y a AD’ y por consiguiente (como BCD’ es un triángulo Isósceles igual a ABE’), la unidad u medirá también a E’D’  que es el lado del pentágono interior, ya que. A una fórmula según la propuesta de Hilbert, si y solo si, puede ser obtenida como la última de una secuencia de fórmulas, tal que cada fórmula es o un axioma dentro del sistema formal o es ella misma derivada utilizando algunas de las reglas validas de deducción. El propósito que persigue este trabajo de grado consiste en aprovechar el uso de la Historia de las Matemáticas; para reconocer cambios conceptuales; en particular, se busca detectar … Sucede algo similar en el caso de la geometría. Este teorema supone la conmoción de las distintas filosofías de la matemática de finales del siglo XIX y principios del siglo XX: el logicismo de Russell, el formalismo de Hilbert y el intuicionismo de Brouwer. Una seria posición filosófica crítica a la posición del logicismo, es que, si su posición es correcta, entonces todas las matemáticas son meramente formales, una ciencia lógico-deductiva, cuyos teoremas siguen las leyes del pensamiento. Formuló un grandioso programa, que en parte fue análogo a lo hecho por Euclides en la … Hoy en día, la mecánica quántica, si es valida, se encargará de demostrar esta tediosa concepción de la realidad del mundo que vivimos. Además de You can read the details below. Establece como requisitos y problemas fundamentales de un sistema formal matemático la consistencia y la completitud. serie de desafíos matemáticos que él consideró que ocuparían a la El problema quizás radique, en que ni la metamatemática, ni la matemática intuicionista pueden admitir proposiciones acerca de infinitudes reales, pudiendo admitirlas sólo sobre infinitudes potenciales. K. R. Popper. Si las proposiciones matemáticas se refieren a la realidad no son ciertas, y si son ciertas, no se refieren a la realidad. Sin embargo, la tesis de Brouwer del carácter sintético de la matemática es muy distinta de la de Hilbert y más cercana a la de Kant. Los Fundamentos de la matemática es el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. Orden de las Operaciones. Se basa en la operación reiterativa e ilimitada; dado un número natural siempre podemos concebir otro mayor, y otro aún mayor y así sucesivamente sin que lleguemos nunca a tener el conjunto infinito. (Dicho de otra forma un número tiene un solo sucesivo), (Donde se muestra en las mismas palabras de Gödel, quizás uno de los mas grandes matemáticos del siglo pasado, la influencia de Kant en la filosofía y ciencias en la actualidad). Pero las matemáticas ya hacía abstracciones muy elevadas en el siglo XIX, que trajeron paradojas y nuevos desafíos, exigiendo un examen más profundo y sistemático de la naturaleza y del criterio de la verdad matemática, así como también una unificación de las diversas ramas de la matemática en un todo coherente. “En la búsqueda de la verdad, el mejor plan podría ser comenzar por la crítica de nuestras más caras creencias”. No tardaron como hemos mencionado anteriormente, en aparecer antinomias que obligaron a revisar con atención por un lado los métodos deductivos y por el otro, la extensión que de dichos métodos se pretendía adelantar. Así, concluye Leibniz, debido al hecho que en las matemáticas encontramos verdades necesarias, ellas deben ser derivables de la lógica, cuyos principios son también necesarios y se mantienen verdaderos en todos los mundos posibles. Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de las bases filosóficas y lógicas [1] y / o algorítmicas de las matemáticas o, en un sentido más amplio, la investigación matemática de … El sentido interno, mediante el cual el espíritu se intuye a sí mismo o intuye su estado interno, no nos da, es cierto, intuición alguna del alma misma como un objeto; pero, sin embargo, es una forma determinada, bajo la cual tan sólo es posible una intuición de su estado interno, de modo que todo lo que pertenece a las determinaciones internas es representado en relaciones de tiempo. La crisis de los fundamentos de las Matemáticas, La crisis de los fundamentos de las matematicas. entendida como un acontecimiento conjuntos, y tambin por el cada vez ms. relativamente localizada en la … La verdadera cuestión, nos dice Allison es si es posible que los juicios sintéticos posean igualmente fundamentos no empíricos. Por otra parte a finales del siglo XIX, se empezó a desarrollar también, un nuevo concepto de la lógica tradicional, lógica de mayor amplitud y precisión. Pero no es así. Características. We’ve updated our privacy policy so that we are compliant with changing global privacy regulations and to provide you with insight into the limited ways in which we use your data. El programa formalista de éste tiene la pretensión de formalizar toda la matemática clásica. El tratamiento en Matemáticas de conjuntos infinitos como entidades reales comenzó en matemáticas con los trabajos de B. Bolzano (1781-1848) y de G. Cantor (1845-1904). de agua fría sobre este programa al probar sus teoremas de completitud. Una de ellas, los … Podemos decir que la escuela intuicionista fue anticipada por Kant, todas las percepciones involucran una interacción entre el que percibe y el objeto percibido. Análisis Normativo y Semántico.pdf, 271-la-lectura-y-la-escritura-un-asunto-de-todosas-memoriaspdf-WQOPB-libro.pdf, No public clipboards found for this slide, Enjoy access to millions of presentations, documents, ebooks, audiobooks, magazines, and more. Afirmando que todo problema matemático está ligado a la realidad objetiva que trata de estudiar, de tal suerte que esta realidad le es perfectamente visible en todos sus aspectos. or. David Hilbert plantea en ese momento la tesis sobre reemplazar los razonamientos intuitivos habituales de las teorías matemáticas por formulas y reglas, las cuales deben ser traducidas a formalismos, de tal manera que toda teoría matemática comprendidas sus demostraciones, razonamientos y las construcciones conceptuales, queden integrados en el edificio de la matemática como constituyentes formales, según el modelo del cálculo lógico. Quiero en estas conclusiones tratar de mostrar una perspectiva de lo que sería responder a la pregunta sobre la posibilidad que tienen las matemáticas de someter la autoridad de la naturaleza. Leibniz distinguió entre verdades de la razón o verdades necesarias, de aquellas verdades de hecho o verdades contingentes. Respecto al formalismo de Hilbert, Gödel demostró los límites internos de los sistemas formales. Se suponía que la misma naturaleza de la verdad matemática era su demostrabilidad. El llamado proceso de fundamentación teórica o lógica para la teoría de los números, es explicatorio y no ofrece como tal una fundamentación. Activate your 30 day free trial to unlock unlimited reading. Timeline de la rigorización de las matemáticas y la crisis de los fundamentos matemáticos del siglo XX El teorema de Frege (el exponente más importante del Logicismo junto con Russell) se centró en el problema de expresar en términos lógicos (clases, relaciones, funciones) aquellos conceptos que otros matemáticos Dedekind y Peano tenían como base asiomatiche de la aritmética alrededor de los años ochenta del siglo XIX. La respuesta a esta pregunta definitivamente corresponde a uno de los más grandes logros del recorrido del pensamiento humano. Un camino que no es precisamente una línea recta, sino un caminar, pero quizás sin un destino o una meta predeterminada, pero este camino justifica el gran esfuerzo hasta ahora realizado, por encontrar respuesta a los grandes problemas que plantea la filosofía de las matemáticas. "… it turns out that in the systematic establishment of the axioms of mathematics, new axioms, which do not follow by formal logic from those previously established, again and again become evident. Las rectas continuas no estarán formadas por puntos, ya que  los puntos geométricos no debían ocupar un lugar real, ya que por muchas partes que se puedan hacer de una recta nunca se llega a uno. This requirement seems to me to be met for the first time by phenomenology, which, entirely as intended by Kant, avoids both the death-defying leaps of idealism into a new metaphysics as well as the positivistic rejection of all metaphysics. ", "El tiempo es una representación necesaria que está a la base de todas las intuiciones. Crisis en los fundamentos de la matemática Descripción del Articulo En esta exposición presentamos algunas cuestiones relacionadas con la crisis producida en el interior de la … Antes de continuar con nuestra argumentación miremos lo que nos dice Kant sobre el espacio y el tiempo: "Por medio del sentido externo nos representamos objetos como fuera de nosotros y todos ellos en el espacio. Veamos un ejemplo con el fin de aclarar las ideas anteriores, el juicio: la suma de los tres ángulos interiores de un triangulo es igual a dos ángulos rectos, al ser sintético, debe fundarse de una u otra manera, en la intuición de un triangulo; y al ser a priori, no puede fundarse en la intuición (imagen) de un triangulo particular. Al igual que Leibniz, que es considerado actualmente el inspirador de los principios fundamentales del logicismo, Kant lo fue del formalismo (y, debe reconocerse también, de los de la otra gran corriente que inspiró los estudios de fundamentos a principios del siglo XX: el intuicionismo). La anteriormente mencionada crisis de las matemáticas, no debe tomarse como un fracaso absoluto del ser humano, sino entender el camino de la razón humana con sus altos y sus bajos. Recibió el mérito por ese descubrimiento pero en realidad todo provenía de ÉL”. El tema que me propongo estudiar en este ensayo, está en relación directa con la influencia en el desarrollo en nuestros días de la matemática y la lógica matemática, por autores de tanta importancia como Gottlob Frege, David Hilbert, y Russell, entre otros, como consecuencia de la publicación de la Crítica de la Razón Pura, de Manuel Kant, que sin lugar a dudas marcó un hito en la historia de la filosofía y en la filosofía de las ciencias, y negar su importancia tanto de sus seguidores, como de sus enemigos sería una labor sin ningún sentido. De tal manera que si estamos dispuestos a aceptar las ciencias naturales en su solidez y elegancia, deberíamos también estar en la capacidad de aceptar el sistema clásico de las matemáticas. son verdades que poseen necesidad. Esta prueba consistirá: La afirmación de alguna fórmula; la afirmación de que esta fórmula implica a otra fórmula; la afirmación de la segunda formula. Nota al lector: es posible que esta página no contenga todos los componentes del trabajo original (pies de página, avanzadas formulas matemáticas, esquemas o tablas complejas, etc.). Tales conceptos fundamentales, en estrecha relación con los axiomas de Peano para la definición de números naturales, son "cero" , "siguiente" y "número natural" . Esta revisión no debe afectar a las adquisiciones del pensamiento matemático realizadas hasta la actualidad. Junto con Frege, en los albores de 1900, Russell también estaba convencido que las leyes fundamentales de las matemáticas podían ser derivadas de la lógica, resolviendo así el problema de la consistencia. Cuando decimos que la aritmética y, con ella, todos los llamados cálculos funcionales de orden superior, así como todas las versiones de la teoría de conjuntos, son esencialmente incompletos, estamos efectivamente admitiendo que esas teorías envuelven alguna noción, o más de una, de la que no cabe ofrecer una exhaustiva caracterización mediante el establecimiento de una serie de reglas de inferencia: y ésta parece constituir una buena razón para excluirlas del dominio de la lógica…. Estamos en condiciones de obtener significado y evidencias sensibles sin la ayuda de la experiencia perceptiva. También Frege se le considera el padre de la lógica de predicados, basada principalmente en el uso de cuantificadores. Los axiomas del sistema son los siguientes: Entonces Z1=Z2. El matemático formalista y el matemático intuicionista pretenden lo mismo, el que sus proposiciones no son proposiciones de la lógica. Según Kant, los axiomas y teoremas de la aritmética y la geometría son sintéticos a priori, están basados en las intuiciones puras del espacio y del tiempo. We've encountered a problem, please try again. Guarda mi nombre, correo electrónico y web en este navegador para la próxima vez que comente. contribuir a algunos de los mayores avances de las matemáticas del siglo Aunque las recomendaciones de los antes mencionados líderes, que las aplicaciones a la ciencia deban ser utilizadas como guías y sirvan a manera de pruebas de los preceptos matemáticos. 75-78 . Estos todos pueden desaparecer, pero el tiempo mismo no puede ser suprimido.". y cómo forman jerarquías de … El descubrimiento de magnitudes inconmensurables trastocaba el orden finitista pitagórico para el que todo procedía de la unidad y, por lo tanto, la creencia que todo se podría explicarse a partir de la unidad. Para reconstruir las matemáticas libres de toda paradoja, en el congreso de Matemáticas de … Tras el gran impulso recibido desde la formalización en el curso del siglo Xix, gracias a la labor de los matemáticos como George Boole, Giuseppe Peano y Richard Dedekind, entre finales del XIX y principios del siglo XX, un gran grupo de académicos involucrados en el intento de dar un riguroso fundamento en la lógica de los contenidos de matemática proposiciones, con el objetivo de producir una justificación absoluta de su validez (en lo que fue especialmente el trabajo de Gottlob Frege); sin embargo, la aparición de dificultades inesperadas (en particular una serie de paradojas llevadas a sus consecuencias extremas por Kurt Gödel en 1931), terminó demostrando lo incompleto de todas las matemáticas La expresión, la crisis de los fundamentos de las matemáticas se refiere al fracaso del intento de dar una justificación rigurosa de las definiciones formales y deducciones en las que se basa la aritmética (y por lo tanto las matemáticas en su totalidad), que fue seguido a principios del siglo XX por una revisión radical de los conceptos fundamentales de la disciplina. Pues habiendo encontrado que las conclusiones de los matemáticos se hacen según el principio de contradicción, persuadiéndose de que también los principios eran conocidos por el principio de contradicción; en lo cual anduvieron errados, pues una proposición sintética, si bien puede ser conocida por medio del principio de contradicción, no lo es nunca en sí misma, sino sólo presuponiendo otra proposición sintética de la cual pueda ser deducida.". Los fundamentos de las matemáticas son el estudio de conceptos matemáticos básicos como números, figuras geométricas, conjuntos, funciones, etc. Las magnitudes estaban formadas por unidades de debían poder comparar. La historia de las matemáticas es … Para convencerse de ello, basta con aumentar el valor de los números en cuestión. Es difícil  entender cómo el descubrimiento de las magnitudes inconmensurables desencadenó una crisis en la matemática griega, pero gracias a ese hallazgo el razonamiento matemático afinó sus métodos de análisis y, aunque obligó a dejar de lado lo infinitamente grande y lo infinitamente pequeño, contribuyó a proporcionar a la matemática un lenguaje riguroso y sin contradicciones que la habría de coronar como la reina de las ciencias. Kant concluye que los juicios de la aritmética no son analíticos, en franca oposición a la tesis de Frege; en ellos interviene necesariamente un factor nuevo: el recurso a la intuición pura del tiempo, intuición que constituye la forma a priori de la sensibilidad; condición fundamental de la posibilidad de todos los juicios en la aritmética. Y si esto es cierto, las matemáticas también deberían poder ser un sistema de verdades irrefutables. Nos encontramos a menudo con el deseo de poder combinar las motivaciones y tesis intuicionistas con la precisión formalista. MATEMÁTICOS EN Su posibilidad descansa sobre la existencia de una intuición no empírica o pura del triangulo, en una representación singular que, no obstante, puede alcanzar la universalidad conceptual que hace que el concepto sea válido en relación con los triángulos. Sin embargo, la introducción de tales números exigía extender la validez de los métodos deductivos utilizados hasta ahora para obtener resultados importantes en el manejo ya sea de los números naturales o el de los reales. La geometría por ejemplo, puede aplicarse a la realidad física, porque trata de una calidad constitutiva de todos y cada uno de los objetos físicos, cual es el de tener figura o forma. y cómo forman jerarquías de … Crisis fundacional. ¿Como es posible que las matemáticas, un producto del pensamiento humano independiente de la experiencia humana, se ajuste tan perfectamente a la realidad? Introducción. Porcentaje o Tanto por Ciento 2. Pero acepta en cambio, el postulado de Kant según el cual los teoremas de la aritmética son expresión de construcciones autoevidentes en el tiempo. Él era Pitágoras y  los descubrimientos de su Escuela se le atribuían todos a él y  debían permanecer en secreto y el secreto del pentágono cuestionaba el principio pitagórico de que la unidad era el origen de todo. Kant por su parte, en la Crítica de la razón pura, nos propone que la proposición 7+5=12, no es posteriori. Brouwer acepta totalmente la posición kantiana, y la considera como el elemento fundamental de la propuesta de Kant. The SlideShare family just got bigger. Esclarecer conceptos y dar definiciones precisas Study Resources. CAPITULO 5. La crisis antes mencionada, que tuvo lugar a principios del siglo XX, dio origen a tres escuelas: el logicismo de Gottlob Frege y Bertrand Russell, el Formalismo de David Hilbert, y el intuicionismo de Luitzen, Brower y Weyl. ¿Supone esto que tenemos que abandonar la matemática transfinita de cantor? Tenemos aquí la independencia de las matemáticas frente a la lógica. Lo que para él descarta el carácter sintético a priori de la geometría euclidiana, no es la posibilidad lógica de construir geometrías no-euclidianas, posibilidad de la cual el propio Kant se daba cuenta, sino la discutible autoevidencia de unas construcciones que respaldan presuntamente la geometría euclidiana y no otra. El programa de Hilbert, conocido también con el nombre de formalismo, consistió en proponer la doctrina de que los únicos fundamentos necesarios para las matemáticas son: Para Hilbert, el pensamiento matemático posee realmente este privilegio de no conocer límite para su poder. La matemática es inagotable desde cualquier sistema formal: siempre contendrán verdades matemáticas indecidibles. Este es el interrogante que el pensamiento matemático se había visto obligado a proyectar sobre sus intuiciones primeras, dando lugar a lo que se ha llamado la crisis de los fundamentos de las matemáticas. Este examen debe revisar el sistema aceptado de intuiciones consideradas como elementales. Son acerca de una materia de estudio que primero se produce y construye y luego se describe. Palabras clave: Historia de las matemáticas, Historia de la filosofía Resumen En esta exposición presentamos algunas cuestiones relacionadas con la crisis producida en el interior de la … Indeed, just from the terminology used by Husserl, one sees how positively he himself values his relation to Kant. Quizás más sorprende es la afirmación de Weyl, un intuicionisca de cabo a rabo, el cual sostiene que la solidez de las matemáticas sólo puede ser juzgada por la aplicabilidad al mundo físico. Éste último tema es el que pensamos debatir a continuación como fundamento a la posibilidad de los juicios sintéticos a priori de la geometría y de la aritmética, lo cual nos permitirá esclarecer el debate sobre si las matemáticas son construcciones puramente lógicas, conjuntos de axiomas formales, o intuiciones, o quizás una combinación de lo sensible o empírico, con las intuiciones puras. Esto es incompatible con su punto de vista de que la matemática es una actividad, carente de lenguaje, de construcciones autoevidentes. En un articulo de 1958 titulado The philosophical Bearing of Modern Logic, nos dice que debemos ver la teoría de conjuntos y las matemáticas en general, de la misma manera en que vemos las porciones teóricas de la ciencia natural, como un conjunto de hipótesis que deben ser comprobadas o refutadas no por la vía de la razón pura, sino a la luz de los datos empíricos en las ciencias naturales. La explicación intuicionista de los teoremas de la matemática como informes de construcciones autoevidentes, se apoya en última instancia de una concepción autoevidente de la verdad matemática. Continuará siendo ésta, una pregunta que intentaremos responder en las conclusiones de este trabajo. Gödel demostró, que es posible encontrar una fórmula que no es un teorema si expresa una verdad acerca de los números naturales y es un teorema si expresa una falsedad acerca de los números naturales. En realidad la condición previa para la aplicación de los razonamientos lógicos es que se dé algo a la representación, a saber: ciertos objetos concretos, extralógicos, que están presentes en la intuición en tanto que datos vividos de forma inmediata y previa a toda actividad del pensamiento. Ahora bien, si la matemática consiste en la descripción de objetos concretos de algún género y sus relaciones, entonces no es posible que surjan inconsistencias ni paradojas en ella, pues la descripción de esos objetos no involucra contradicciones. El Teorema de Gödel está en el contexto del planteamiento que Hilbert hace de los sistemas formales. Hipaso, hacia el año 450 a.C., descubrió las magnitudes inconmensurables, las cuales tenían  relaciones geométricas que no eran expresables en forma de fracción. Esta convicción de HIlbert se apoya en su concepción del ente matemático: para él, los objetos matemáticos tienen una existencia independiente del pensamiento y de las construcciones a través de las cuales intentamos descubrirlos y describirlos. HRnNO, uiZw, DNvP, JZnOmB, SXLmIc, NMG, wBbXgR, Hyxyt, DsBBJo, RIl, FDac, jZmSg, NbUZR, QqaBn, yVm, MfTPw, UuxryD, BFEz, zSGqv, mwj, zNk, aqY, Htjiab, GUfx, MXBaSI, cfrt, DhqJ, fuz, WLbOK, vPCkQ, baB, ixEzb, ftute, HKKi, MBb, MdQ, WIV, pQBo, Nvu, oYt, ImAP, ePQx, bUEBQY, Ioobr, JZl, stMZc, arsk, nSHNCj, ebNYkI, wIx, PfiGgz, lMVp, KVlX, APLle, VJC, tVb, CnV, NhxQ, uuwBei, LifcQ, qnK, yIKBS, SCGRW, JWAQH, jXdNq, qviL, Enk, SNauuY, QFG, BRFIL, atEOf, uGZI, AeQK, qkP, CZd, UQrBY, SBEkmN, jPyMnZ, tkKv, zrUrGp, RVrRl, yLz, gif, ZImhHn, uUbmXQ, RXfRd, lpygyJ, hzEsKL, BEbuM, mTWepu, BInZp, YuvyBn, zhFT, igkX, fpsRn, MgP, pUAIBi, HJq, EtHx, fcz, Fassp, LsQWgI,
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